Question

【題目】已知點是拋物線的焦點，點，在上，且．

（1）求的值；

（2）若直線經過點且與交于，（異于）兩點，證明：直線與直線的斜率之積為常數．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據拋物線的焦半徑公式，即可求出的值；

（2）由（1）求出，先考慮斜率不存在時，求出直線與直線的斜率之積，當直線斜率存在時，設直線方程與拋物線方程聯立，求出兩點的縱坐標關系，再將直線與直線的斜率之積用縱坐標表示，化簡即可證明結論.

（1）由拋物線定義知．

（2）由（1），得，．

當直線經過點且垂直于軸時，不妨設，，

則直線的斜率，直線的斜率，

所以．

當直線不垂直于軸時，設，，

設直線的斜率為（顯然且），

則直線的方程為．

聯立，消去，得，

，

所以，，

則直線的斜率，

同理直線的斜率．

∴

，

綜上，直線與直線的斜率之積為．