Question

如圖1，在△OAB中，M是AB邊上的點，則

OM

=

MB

AB

OA

+

MA

AB

OB

，類比到空間向量，如圖2，在四面體OABC中，M是△ABC內一點，那么下列結論正確的是（　　）

• A．

  OM

  =

  MB+MC

  MA+MB+MC

  OA

  +

  MC+MA

  MA+MB+MC

  OB

  +

  MA+MB

  MA+MB+MC

  OC

• B．

  OM

  =

  BC

  △ABC的周長

  OA

  +

  CA

  △ABC的周長

  OB

  +

  AB

  △ABC的周長

  OC

• C．

  .

  OM

  =

  d1

  d1+d2+d3

  .

  OA

  +

  d2

  d1+d2+d3

  .

  OB

  +

  d3

  d1+d2+d3

  .

  OC

  （其中d₁、d₂、d₃分別表示M到BC、CA、AB的距離）
• D．

  .

  OM

  =

  S△MBC

  S△ABC

  .

  OA

  +

  S△MCA

  S△ABC

  .

  OB

  +

  S△MAB

  S△ABC

  .

  OC

Answer 1

分析：從平面的結論推廣到空間，線段長的比類比到面積的比值，因此可以類似地寫出四面體OABC中

OM

關于

OA

、

OB

、

OC

的線性組合形式，再用平面幾何結合向量的有關知識加以證明，即可得到本題答案．

解答：解：根據平面內的結論：在△OAB中，M是AB邊上的點，則

OM

=

MB

AB

OA

+

MA

AB

OB

，
推廣到空間：在四面體OABC中，M是△ABC內一點，
則

.

OM

=

S△MBC

S△ABC

.

OA

+

S△MCB

S△ABC

.

OB

+

S△MAB

S△ABC

.

OC

．證明如下：
延長CM，交AB于D，連接OD，可得

OM

=

DM

DC

OC

+

CM

DC

OD

，

OD

=

AD

AB

OB

+

BD

AB

OA

∴

OM

=

DM

DC

OC

+

CM

DC

（

AD

AB

OB

+

BD

AB

OA

）
∵

DM

DC

=

S△MAB

S△ABC

，

CM

DC

•

AD

AB

=

S△MCA

S△ABC

，

CM

DC

•

BD

AB

=

S△MBC

S△ABC

∴

OM

=

S△MBC

S△ABC

OA

+

S△MCA

S△ABC

OB

+

S△MAB

S△ABC

.

OC

故選：D

點評：本題給出平面向量的一個結論，要求將此結論類比到空間，著重考查了平面向量基本定理和進行簡單的合情推理等知識，屬于基礎題．