Question

（本小題滿分14分）如圖橢圓的上頂點為A，左頂點為B, F為右焦點, 過F作平行于AB的直線交橢圓于C、D兩點. 作平行四邊形OCED, E恰在橢圓上。

（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若平行四邊形OCED的面積為, 求橢圓的方程.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析試題分析：解∵焦點為F(c, 0), AB斜率為, 故CD方程為y=(x－c). 于橢圓聯立后消去y得2x²－2cx－b²="0." ∵CD的中點為G(), 點E(c, －)在橢圓上,
∴將E(c, －)代入橢圓方程并整理得2c²=a², ∴e =.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知CD的方程為y=(x－c),  b="c," a=c.
與橢圓聯立消去y得2x²－2cx－c²=0.
∵平行四邊形OCED的面積為S=c|y_C－y_D|=c
=c, ∴c=, a="2," b=. 故橢圓方程為
考點：離心率及直線與橢圓的位置關系
點評：求離心率關鍵是找到關于的齊次方程