Question

（本小題滿分12分）

已知函數，．

（I）證明：當時，在上是增函數；

（II）對于給定的閉區間，試說明存在實數    ，當時，在閉區間上是減函數；

（III）證明：．

 

Answer 1

【答案】

（I）當時，在上是增函數

（II）取與中較大者記為k，易知當t＞k時，＜0在閉區[a,b]成立，即在閉區間[a,b]上為減函數.

（III）

【解析】證明：由題設得

又由≥,且t＜得t＜，即

＞0.

由此可知，為R上的增函數.

(Ⅱ)證法一：因為＜0是為減函數的充分條件，所以只要找到實數k，使得t

＜0，即t＞

在閉區間[a,b]上成立即可.

因此y=在閉區間[a,b]上連續，故在閉區[a,b]上有最大值，設其為k，t＞k時, ＜0在閉區間[a,b]上恒成立，即在閉區間[a,b]上為減函數.

證法二：因為＜0是為減函數的充分條件，所以只要找到實數k，使得t＞k時

＜0，

在閉區間[a,b]上成立即可.

令則＜0()當且僅當

＜0().

而上式成立只需

即

成立.取與中較大者記為k，易知當t＞k時，＜0在閉區[a,b]成立，即在閉區間[a,b]上為減函數.

(Ⅲ)證法一：設

易得

≥.

令則易知當x＞0時, ＞0;當x＜0, ＜0.故當x=0時，取最小值，所以

≥，

于是對任意x、t，有≥，即≥.

證法二：設=

≥，當且僅當

≥0

只需證明

≤0，即

≥1

以下同證法一.

證法三：設=，則

易得當t＞時, ＞0; t＜時, ＜0，故當t=取最小值即

≥

以下同證法一.

證法四:

設點A、B的坐標分別為，易知點B在直線y=x上，令點A到直線y=離為d，則

≥

以下同證法一.