Question

如果函數y=f（x）的定義域為R，對于定義域內的任意x，存在實數a使得f（x+a）=f（-x）成立，則稱此函數具有“P（a）性質”．
（I）判斷函數y=sinx是否具有“P（a）性質”，若具有“P（a）性質”，求出所有a的值；若不具有“P（a）性質”，請說明理由；
（II）設函數y=g（x）具有“P（±1）性質”，且當-

1

2

≤x≤

1

2

時，g（x）=|x|．若y=g（x）與y=mx交點個數為2013個，求m的值．

Answer 1

（I）由sin（x+a）=sin（-x）得sin（x+a）=-sinx，
根據誘導公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
∴y=sinx具有“P（a）性質”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．…（4分）
（II）∵y=g（x）具有“P（±1）性質”，
∴g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），
∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（-1-x）=g（x），從而得到y=g（x）是以2為周期的函數．
又設

1

2

≤x≤

3

2

，則-

1

2

≤1-x≤

1

2

，
g（x）=g（x-2）=g（-1+x-1）=g（-x+1）=|-x+1|=|x-1|=g（x-1）．
再設n-

1

2

≤x≤n+

1

2

（n∈z），
當n=2k（k∈z），2k-

1

2

≤x≤2k+

1

2

，則-

1

2

≤x-2k≤

1

2

，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k|=|x-n|；
當n=2k+1（k∈z），2k+1-

1

2

≤x≤2k+1+

1

2

，則

1

2

≤x-2k≤

3

2

，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k-1|=|x-n|；
∴對于，n-

1

2

≤x≤n+

1

2

（n∈z），都有g（x）=|x-n|，而n+1-

1

2

≤x+1≤n+1+

1

2

，
∴g（x+1）=|（x+1）-（n+1）|=|x-n|=g（x），
∴y=g（x）是周期為1的函數．
①當m＞0時，要使y=mx與y=g（x）有2013個交點，只要y=mx與y=g（x）在[0，1006）有2012個交點，而在[1006，1007]有一個交點．
∴y=mx過（

2013

2

，

1

2

），從而得m=

1

2013

②當m＜0時，同理可得m=-

1

2013

③當m=0時，不合題意．
綜上所述m=±

1

2013

…（14分）