Question

已知數列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=

1

2-an

，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數列{

1

an-1

}為等差數列；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，證明S_n＜n-ln（n+1）；
（Ⅲ）設b_n=a_n（

9

10

）ⁿ，證明：對任意的正整數n、m均有|b_n-b_m|＜

3

5

．

Answer 1

分析：（1）要證明數列{

1

an-1

}為等差數列，我們可以根據a_n+1=

1

2-an

，判斷

1

an+1-1

-

1

an-1

的值，是否是一個常數；
（2）由（1）的結論，我們易給出數列{a_n}的通項公式，然后利用放縮法對結論進行證明；
（3）由（2）中數列{a_n}的通項公式，我們根據b_n=a_n（

9

10

）ⁿ，不難給出{b_n}的通項公式，分析數列{b_n}的單調性，不難給出|b_n-b_m|的取值范圍，進而得到|b_n-b_m|＜

3

5

．

解答：解：（Ⅰ）因為

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，
即

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1.
所以數列{

1

an-1

}為等差數列
（Ⅱ）由（1）知：

1

an-1

=

1

a1-1

+（n-1）×（-1）=-n
所以a_n=1-

1

n

設f（x）=x-ln（x+1）（x＞0），則f′（x）=1-

1

x+1

＞0
∴f（x）在（0，+∞）為遞增函數，且f（x）在[0，+∞]上連續．
∴f（x）＞f（0）=0，∴當x＞0時，x＞ln（x+1）成立．
所以ln（1+

1

n

）＜

1

n

，1-

1

n

＜1-ln（1+

1

n

）
所以a_n=1-

1

n

＜1-ln（n+1）+lnn
所以S_n＜（1-ln2+ln1）+（1-ln3+ln2）++[1-ln（n+1）+lnn]
即S_n＜n-ln（n+1）
（Ⅲ）因為b_n=

n-1

n

×（

9

10

）ⁿ，
當

bn

bn+1

=

n-1

n

×

n+1

n

×

10

9

=

n2-1

n2

×

10

9

，
當

bn

bn+1

=

n2-1

n2

×

10

9

＞1，n＞

10

，即n≥4
當

bn

bn+1

=

n2-1

n2

×

10

9

＜1，n＜

10

，即n≤3．
所以b₁＜b₂＜b₃＜b₄＞b₅＞b₆＞
又因為n≥2時，b_n＞0，并且b₁=0，所以0≤b_n≤b₄
對任意的正整數n、m，均有|b_n-b_m|的最大值為
b₄-b₁=

3

4

×（

9

10

）⁴-0=

19683

40000

＜

24000

40000

=

3

5

所以對任意的正整數n、m，均有|b_n-b_m|＜

3

5

點評：要判斷一個數列是否為等差（比）數列，我們常用如下幾種辦法：①定義法，判斷數列連續兩項之間的差（比）是否為定值；②等差（比）中項法，判斷是否每一項都是其前一項與后一項的等差（比）中項；③通項公式法，判斷其通項公式是否為一次（指數）型函數；④前n項和公式法．