Question

已知正四棱錐S-ABCD，E是SB的中點，若SA=

2

AB，則異面直線AE與SD所成的角等于（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

分析：設AB=1，則SA=

2

，設AC和 BD交與點O，∠AEO或其補角即為異面直線AE與SD所成的角．求出EO，AO的值，余弦定理求得cos∠ASB，由余弦定理可得 AE² 的值，可得△AEO為等腰直角三角形，故∠AEO=

π

4

．

解答：解：正四棱錐S-ABCD，E是SB的中點，若SA=

2

AB，設AB=1，則SA=

2

．
設AC和 BD交與點O，則EO是三角形SBD的中位線，∠AEO或其補角即為異面直線AE與SD所成的角．
EO=

1

2

SD=

2

2

，AO=

1

2

AC=

2

2

．
△SAB中，由余弦定理可得 1=2+2-2•

2

•

2

cos∠ASB，∴cos∠ASB=

3

4

． 
△SAE中，由余弦定理可得 AE²=2+

2

2

-2•2•

2

2

cos∠ASB=1，∴AE²=AO²+EO²，
故△AEO為等腰直角三角形，故∠AEO=

π

4

，故異面直線AE與SD所成的角等于

π

4

，故選 B．

點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，體現了數形結合的數學思想，判斷“，∠AEO或其補角即為異面直線AE與SD所成的角”，是解題的關鍵．