Question

圓柱內有一個內接三棱柱，三棱柱的底面在圓柱的底面內，且底面是正三角形，已知圓柱的底面直徑與母線長相等，如果圓柱的體積為V
（1）求三棱柱的體積；
（2）求三棱柱的表面積．

Answer 1

分析：設出圓柱的高，推出底面半徑，通過體積求出圓柱的高，然后求出三棱柱的體積與表面積．

解答：解：設圓柱的高為h，則底面半徑為

h

2

，
∴π（

h

2

）²•h=V，∴h=

3	4V π

，
由于圓柱內有一個內接三棱柱，三棱柱的底面在圓柱的底面內，且底面是正三角形，
∴三棱柱的底面邊長為

3

r=

3

2

h
故三棱柱的體積V=

1

2

×

3

2

•(

3

2

h)2×h=

3 3 V

4π

表面積S=2×

1

2

×

3

2

•(

3

2

h)2+3×

3

2

h•h=

15 3

8

h2=

3 3

π

(2V2π) 

1

3

故（1）三棱柱的體積為

3 3 V

4π

；
（2）三棱柱的表面積為

3 3

π

(2V2π) 

1

3

．

點評：本題考查圓柱的體積公式與側面積公式的應用，考查計算能力．