Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=

1

2

PA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求證OD∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線OD與平面PBC所成角的大小．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）要證OD∥平面PAB，只需證明平面PAB內直線PA與OD平行，就是OD∥PA，即可證明OD∥平面PAB；
（Ⅱ）首先利用三垂線定理作出直線OD與平面PBC所成角，
就是取BC中點E，連接PE，則BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，連接DF，得到
OF⊥平面PBC，然后解三角形求出角即可；
法二：距離空間直角坐標系，利用共線向量證明（Ⅰ）；利用向量的數量積求解（Ⅱ）．

解答：解：方法一：
（Ⅰ）∵O、D分別為AC、PC中點，
∴OD∥PA又PA?平面PAB
∴OD∥平面PAB
（Ⅱ）∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，
又∵OP⊥平面ABC
∴PA=PB=PC．取BC中點E，連接PE，則BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，連接DF，則OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角．在Rt△ODF中，sin∠ODF=

OF

OD

=

210

30

，
∴OD與平面PBC所成的角為arcsin

210

30

．

方法二：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．以O為原點，射線OP為非負z軸，建立空間直角坐標系O-xyz（如圖），設AB=a，則A(

2

2

a，0，0)，B(0，

2

2

a，0)，C(-

2

2

a，0，0)
設OP=h，則P（0，0，h）．
（Ⅰ）∵D為PC的中點，
∴

OD

=(-

2

4

a，0，

1

2

h)，又

PA

=(

2

2

a，0，-h)，
∴

OD

=-

1

2

PA

．∴

OD

∥

PA

．∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）∵PA=2a∴h=

7 2

a，
∴

OD

=(-

2

4

a，0，

14

4

a)，可求得平面PBC的法向量

n

=(-1，1，

1 7

)，
∴cos?

OD

，

n

＞=

OD • n

| OD |•| n |

=

210

30

．
設OD與平面PBC所成的角為θ，
則sinθ=|cos?

OD

，

n

＞|=

210

30

，
∴OD與平面PBC所成的角為arcsin

210

30

點評：本題考查直線與平面平行，直線與平面所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．