Question

數列{a_n} 滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1-

1

3

cos²

nπ

2

）a_n+2sin²

nπ

2

，n=1，2，3…
（1）求a₃，a₄及數列{a_n}的通項公式；（2）設S_n=a₁+a₂+…+a_n，求S_2n．

Answer 1

分析：（1）在a_n+2的表達式中令n=1直接計算即得a₃，令n=2求出a₄，對n分奇偶數分類求解，再考查通項公式．
（2）利用分組求和法計算求和．

解答：解：（1）a3=(1-

1

3

cos2

π

2

)a1+2sin2

π

2

=a1+2=1+2=3
a4=(1-

1

3

cos2

2π

2

)a2+2sin2

2π

2

=(1-

1

3

)a2=

2

3

× 2=

4

3

一般地，
a2n+1=(1-

1

3

cos2

(2n-1)π

2

)a2n-1+2sin2

(2n-1)π

2

=a_2n-1+2
即a_2n-1-a_2n-1=2
即數列{a_2n-1}是以a₁=1，公差為2的等差數列．∴a_2n-1=2n-1
又a2n+2=(1-

1

3

cos2

2nπ

2

)a2n+2sin2

2nπ

2

=

2

3

a_2n
即數列{a_2n}是首項為a₂=2，公比為

2

3

的等比數列
∴a2n=a2(

2

3

)n-1=2(

2

3

)n-1
綜上可得an=

n        n=2m-1，m是正整數 2( 2 3 ) n-2 2         n=2m m是正整數

（2）S_2n=a₁+a₂+…+a_2n-1+a_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…a_2n）
=[1+3+…+（2n-1）]+[2+

4

3

+…2(

2

3

)n-1]
=n2+6-6•(

2

3

)n

點評：本題考查三角函數公式、數列通項公式、數列求和．考查分類討論、轉化的思想方法及分析解決問題、計算的能力．