Question

數列{a_n}滿足a 1=

3

2

，a n+1=

a

2 n

-an+1（n∈N^*），則m=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2012

的整數部分是（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：由a n+1=

a

2 n

-an+1，得

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，即

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，從而可求得

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

，通過作差可判斷a_n+1≥a_n≥a₁＞1，又a2=

7

4

，a3=

37

16

＞2，得a₂₀₁₃≥a₃＞2，
由此即可得到m的范圍，從而可得答案．

解答：解：∵a n+1=

a

2 n

-an+1，
∴

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，則

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=(

1

a1-1

-

1

a2-1

)+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+(

1

a3-1

-

1

a4-1

)+…+(

1

an-1

-

1

an+1-1

)
=

1

a1-1

-

1

an+1-1

=2-

1

an+1-1

，
又an+1-an=an2-2an+1=(an-1)2≥0，
所以a_n+1≥a_n≥a₁＞1，
又a2=

7

4

，a3=

37

16

＞2，則a₂₀₁₃≥a₃＞2，
所以m=2-

1

a2013-1

∈(1，2)，故m的整數部分為1，
故選C．

點評：本題考查由數列遞推式求數列的和，考查學生分析問題解決問題的能力，對能力要求較高．