Question

在曲線C：y=x²（x≥0）上某一點A處作一切線l，l交x軸于，
試求：（1）切點A的坐標；
（2）曲線C與切線l以及x軸所圍的圖形面積S

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求切點A的坐標，設切點為A（x，y），只須求出其斜率，再利用導數求出在切點處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率得切線方程．最后利用切線l交x軸于可使問題解決．
（2）欲求曲線C與切線l以及x軸所圍的圖形面積S，先將其化為：S=S_曲邊△OAB-S_△CAB，最后利用不定積分求其面積即可．
解答：解：（1）設切點為A（x，y），由y'=2x，
得切線方程為y-y=2x（x-x）（2分）
又由y=x²可得切線方程為y=2xx-x²（3分）
令y=0得即得C點坐標為
由∴A（1，1）（5分）
（2）所圍圖形面積為
S=S_曲邊△OAB-S_△CAB=（8分）
=（10分）
點評：本小題主要考查函定積分的簡單應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、直線方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．