Question

已知曲線C：

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)．
（1）曲線C經過點(

3

，

1

2

)，求b的值；
（2）動點（x，y）在曲線C，求x²+2y的最大值；
（3）由曲線C的方程能否確定一個函數關系式y=f（x）？如能，寫出解析式；如不能，再加什么條件就可使x、y間建立函數關系，并寫出解析式．

Answer 1

分析：（1）由題意將點(

3

，

1

2

)，代入求b的值即可；
（2）動點（x，y）在曲線C上，可把x²用y表示出來，將x²+2y表示成y的函數，此是一個關于y的二次函數，配方后對b的取值范圍根據二次函數的性質進行討論求最值即可；
（3）根據函數的定義判斷即可，由于本題中可以出現一對二的對應，故不是函數，證明方法用函數的定義進行證明．

解答：解：（1）

3 2

4

+

1

4b2

=1(b＞0)∴b=1；
（2）根據

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)得x2=4(1-

y2

b2

)，∴x2+2y=4(1-

y2

b2

)+2y=-

4

b2

(y-

b2

4

)2+

b2

4

+4(-b≤y≤b)，當

b2

4

≥b時，即b≥4時(x2+2y)max=2b+4，
當

b2

4

≤b時，即0≤b≤4時(x2+2y)max=

b2

4

+4，
∴(x2+2y)max=

2b+4，b≥4 b2 4 +4，0≤b＜4

；
（3）不能，如再加條件xy＜0就可使x、y之間建立函數關系，
解析式y=

- 1- x2 b2  x＞0 1- x2 b2 ，x＜0

（不唯一，也可其它答案）．

點評：本題考查函數與方程的給定運用，考查了與方程有關的解析式的最值的求法，將問題轉化為二次函數的最值，這是與方程有關的問題經常采用的一個思路，本小題易出錯，第三問對函數的定義的考查較簡單．