Question

（06年遼寧卷）（14分）

已知點是拋物線上的兩個動點，是坐標原點，向量滿足，設圓的方程為．

（1）證明線段是圓的直徑；

（2）當圓的圓心到直線的距離的最小值為時，求的值．

Answer 1

解析：（I）證法一：

即

整理得

......................12分

設點M（x,y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則

即

展開上式并將①代入得

故線段是圓的直徑。

證法二：

即，

整理得

①……3分

若點在以線段為直徑的圓上，則

去分母得

點滿足上方程，展開并將①代入得

所以線段是圓的直徑.

證法三：

即，

整理得

以為直徑的圓的方程是

展開，并將①代入得

所以線段是圓的直徑.

（Ⅱ）解法一：設圓的圓心為，則

，

又

所以圓心的軌跡方程為：

設圓心到直線的距離為，則

當時，有最小值，由題設得

……14分

解法二：設圓的圓心為，則



又

…………9分

所以圓心得軌跡方程為…………11分

設直線與的距離為,則

因為與無公共點.

所以當與僅有一個公共點時，該點到的距離最小，最小值為

將②代入③，有

…………14分

解法三：設圓的圓心為，則

若圓心到直線的距離為，那么

又

當時，有最小值時，由題設得