Question

當x∈（0，1）時，不等式

1

x

+

4

1-x

≥m恒成立，則實數m的最大值為

9

．

Answer 1

分析：要使不等式

1

x

+

4

1-x

≥m在（0，1）上恒成立，只需

1

x

+

4

1-x

的最小值大于等于m即可，然后利用基本不等式求出

1

x

+

4

1-x

的最值，即可求出m的取值范圍，從而求出所求．

解答：解：∵x∈（0，1），
∴1-x∈（0，1），
∵x+（1-x）=1，
∴

1

x

+

4

1-x

=（

1

x

+

4

1-x

）[x+（1-x）]=5+

1-x

x

+

4x

1-x

≥5+2

1-x x × 4x 1-x

=9，
當且僅當

1-x

x

=

4x

1-x

，即x=

1

3

時取等號，
∴m≤9，即實數m的最大值為9．
故答案為：9．

點評：本題主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立問題，同時考查了轉化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．