已知：如圖，在四棱錐
中，四邊形
為正方形，
，且
，
為
中點．
（Ⅰ）證明：
//平面
；
（Ⅱ）證明：平面
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的正弦值．
（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）
解析試題分析：（Ⅰ）
證明：連結BD交AC于點O，連結EO． ……1分
O為BD中點，E為PD中點，
∴EO//PB． ……2分EO
平面AEC，PB
平面AEC， ……3分
∴ PB//平面AEC．
（Ⅱ）
證明：
PA⊥平面ABCD．
平面ABCD，
∴
． ……4分
又在正方形ABCD中
且
， ……5分
∴CD
平面PAD． ……6分
又平面PCD，
∴平面平面． ……7分
（Ⅲ）如圖，以A為坐標原點，
所在直線分別為
軸，
軸，
軸建立空
間直角坐標系．
……8分
由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標分別為
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),
D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ． ……9分PA平面ABCD，∴
是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）．
設平面AEC的法向量為
, 
,
則
即
∴
∴令
,則
. ……11分
∴
, ……12分
二面角
小博士期末闖關100分系列答案
名校名師培優作業本加核心試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）
正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、G分別是BC、C1D1的中點，如圖所示.
（1）求證：BD⊥A1C；
（2）求證：EG∥平面BB1D1D.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，FD⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，FD=BE=1，M為BC邊上的動點.試探究點M的位置，使F—AE—M為直二面角.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，長方體AC1中，AB＝2，BC＝AA1＝1.E、F、G分別為棱DD1、D1C1、BC的中點．
(1)求證：平面
平面
；
(2)在底面A1D1上有一個靠近D1的四等分點H，求證： EH∥平面FGB1；
(3)求四面體EFGB1的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本題滿分14分）
如圖，在底面是正方形的四棱錐
中，
面
，
交
于點
，
是
中點，
為上一點．
⑴求證：
；
⑵確定點在線段上的位置，使
//平面
，并說明理由．
⑶當二面角
的大小為
時，求與底面所成角的正切值．
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是正三角形，
和
都垂直于平面
，且
，
，
是
的中點.
∥平面
的體積.
中，
、
分別是
、
的中點，點
在
上，
。
平面
中,
⊥底面
,底面
,
,
,點
在棱
上,且
．
⊥平面
；
和平面
所成銳二面角的余弦值．
的底面是正方形，
⊥底面
，且
，點
、
分別為側棱
、
的中點 
∥平面
；
⊥平面
.