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(2013•許昌三模)已知函數f(x)=(x3-6x2+3x+t )ex,(t∈R,e為自然對數的底數).
(Ⅰ)若函數y=f(x)有三個極值點,求t的取值范圍;
(Ⅱ)若存在實數t∈[0,2],使對任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立.求正整數m的最大值.
分析:(I)求導函數,利用f(x)有三個極值點,可得f′(x)=0有三個根,構造新函數,確定其單調性,從而可得不等式,即可求t的取值范圍;
(Ⅱ)不等式f(x)≤x,即(x3-6x2+3x+t)ex≤x,即t≤xe-x-x3+6x2-3x,轉化為存在實數t∈[0,2],使對任意的x∈[1,m],不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立,構造新函數,確定單調性,計算相應函數值的正負,即可求正整數m的最大值.
解答:解:(I)f′(x)=(3x2-12x+3)ex+(x3-6x2+3x+t)ex=(x3-3x2-9x+t+3)ex
∵f(x)有三個極值點,∴x3-3x2-9x+t+3=0有三個根,
令g(x)=x3-3x2-9x+t+3,g′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)
∴g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上遞增,(-1,3)上遞減,
∵g(x)有三個零點,
g(-1)>0
g(3)<0

∴-8<t<24…(4分)
(II)不等式f(x)≤x,即(x3-6x2+3x+t)ex≤x,即t≤xe-x-x3+6x2-3x.
轉化為存在實數t∈[0,2],使對任意的x∈[1,m],不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立.
即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1,m]上恒成立.
即不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈[1,m]上恒成立…(6分)
設φ(x)=e-x-x2+6x-3,則φ(x)=-g-x-2x+6.
設r(x)=φ(x)=-g-x-2x+6,則r′(x)=g-x-2,因為1≤x≤m,有r′(x)<0.
故r(x)在區間[1,m]上是減函數…(8分)
又r(1)=4-e-1>0,r(2)=2-e-2>0,r(3)=-e-3<0
故存在x0∈(2,3),使得r(x0)=φ′(x0)=0.
當1≤x<x0時,有φ′(x)>0,當x>x0時,有φ′(x)<0.
從而y=φ(x)在區間[1,x0)上遞增,在區間(x0,+∞)上遞減…(10分)
又φ(1)=e-1+4>0,φ(2)=e-2+5>0,φ(3)=e-3+6>0
φ(4)=e-4+5>0,φ(5)=e-5+2>0,φ(6)=e-6-3<0
所以當1≤x≤5時,恒有φ(x)>0;當x≥6時,恒有φ(x)<0;
故使命題成立的正整數m的最大值為5.…(12分)
點評:本題考查導數知識的運用,考查函數的極值,考查函數的單調性,考查學生分析解決問題的能力,難度較大.
練習冊系列答案
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(2013•許昌三模)已知f(x)=x3+ax2-a2x+2.
(Ⅰ)若a=1,求曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程;
(Ⅱ)若a≠0 求函數f(x)的單調區間;
(Ⅲ)若不等式2xlnx≤f′(x)+a2+1恒成立,求實數a的取值范圍.

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(2013•許昌三模)已知圓C的方程為x2+y2=4,過點M(2,4)作圓C的兩條切線,切點分別為A,B,直線AB恰好經過橢圓T:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右頂點和上頂點.
(1)求橢圓T的方程;
(2)已知直線l與橢圓T相交于P,Q兩不同點,直線l方程為y=kx+
3
(k>0)
,O為坐標原點,求△OPQ面積的最大值.

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(2013•許昌三模)如圖,多面體ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AB=CD=1,AC=
3
,AD=DE=2
,G為AD的中點.
(1)求證;AC⊥CE;
(2)在線段CE上找一點F,使得BF∥平面ACD,并給予證明;
(3)求三棱錐VG-BCE的體積.

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(2013•許昌三模)設向量
a
=(
3
sinθ+cosθ+1,1),
b
=(1,1),θ∈[
π
3
3
],m是向量
a
 在向量
b
向上的投影,則m的最大值是(  )

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