Question

（2013•許昌三模）已知函數f（x）=（x³-6x²+3x+t ）e^x，（t∈R，e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）若函數y=f（x）有三個極值點，求t的取值范圍；
（Ⅱ）若存在實數t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整數m的最大值．

Answer 1

分析：（I）求導函數，利用f（x）有三個極值點，可得f′（x）=0有三個根，構造新函數，確定其單調性，從而可得不等式，即可求t的取值范圍；
（Ⅱ）不等式f（x）≤x，即（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，即t≤xe^-x-x³+6x²-3x，轉化為存在實數t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立，構造新函數，確定單調性，計算相應函數值的正負，即可求正整數m的最大值．

解答：解：（I）f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵f（x）有三個極值點，∴x³-3x²-9x+t+3=0有三個根，
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，g′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上遞增，（-1，3）上遞減，
∵g（x）有三個零點，
∴

g(-1)＞0 g(3)＜0

∴-8＜t＜24…（4分）
（II）不等式f（x）≤x，即（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，即t≤xe^-x-x³+6x²-3x．
轉化為存在實數t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立．
即不等式0≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e^-x-x²+6x-3在x∈[1，m]上恒成立…（6分）
設φ（x）=e^-x-x²+6x-3，則φ（x）=-g^-x-2x+6．
設r（x）=φ（x）=-g^-x-2x+6，則r′（x）=g^-x-2，因為1≤x≤m，有r′（x）＜0．
故r（x）在區間[1，m]上是減函數…（8分）
又r（1）=4-e^-1＞0，r（2）=2-e^-2＞0，r（3）=-e^-3＜0
故存在x₀∈（2，3），使得r（x₀）=φ′（x₀）=0．
當1≤x＜x₀時，有φ′（x）＞0，當x＞x₀時，有φ′（x）＜0．
從而y=φ（x）在區間[1，x₀）上遞增，在區間（x₀，+∞）上遞減…（10分）
又φ（1）=e^-1+4＞0，φ（2）=e^-2+5＞0，φ（3）=e^-3+6＞0
φ（4）=e^-4+5＞0，φ（5）=e^-5+2＞0，φ（6）=e^-6-3＜0
所以當1≤x≤5時，恒有φ（x）＞0；當x≥6時，恒有φ（x）＜0；
故使命題成立的正整數m的最大值為5．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．