Question

在邊長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為正方體內一動點（包括表面），若

AP

=x

AB

+y

AD

+z

AA1

，且0≤x≤y≤z≤1．則P點所有可能的位置所構成的幾何體的體積是

1

6

．

Answer 1

分析：利用平面線性規劃的方法，我們類比推理，可得若0≤x≤y，則P點只能再現在三棱柱ACD-A₁C₁D₁中，若y≤z≤1，則P點只能再現在三棱柱AA₁D₁-BB₁C₁中，進而確定出滿足條件的P點只能再現在三棱錐A-A₁C₁D₁中，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：若0≤x≤y，則P點只能再現在三棱柱ACD-A₁C₁D₁中，
若y≤z≤1，則P點只能再現在三棱柱AA₁D₁-BB₁C₁中，

若要同時滿足0≤x≤y≤z≤1，則P點只能再現在三棱錐A-A₁C₁D₁中，
∵三棱棱錐A-A₁C₁D₁的體積V=

1

3

×（

1

2

×1×1）=

1

6

故答案為：

1

6

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，其中根據線性規劃和類比推理，判斷出滿足條件的P點只能再現在三棱錐A-A₁C₁D₁中，是解答本題的關鍵．