Question

（2013•豐臺區一模）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；
（Ⅰ）求證：AM∥平面BCN；
（Ⅱ）求AN與平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）E為直線MN上一點，且平面ADE⊥平面MNC，求

ME

MN

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過證明平面與平面平行的判定定理證明平面AMD∥平面BCN，然后證明AM∥平面BCN；
（Ⅱ）以D為原點，DA，DC，DM所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面MNC的法向量以及直線AN向量，然后求AN與平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）設E（x，y，z），

ME

MN

=λ，推出E點的坐標為（2λ，2λ，2-λ），通過

AE

•

MC

=0，求出λ=

2

3

，即可求

ME

MN

的值．

解答：（本題14分）解：（Ⅰ）證明：∵ABCD是正方形，
∴BC∥AD．∵BC?平面AMD，AD?平面AMD，
∴BC∥平面AMD．
∵NB∥MD，∵NB?平面AMD，MD?平面AMD，
∴NB∥平面AMD．
∵NB∩BC=B，NB?平面BCN，BC?平面BCN，
∴平面AMD∥平面BCN…（3分）
∵AM?平面AMD，
∴AM∥平面BCN…（4分）
（也可建立直角坐標系，證明AM垂直平面BCN的法向量，酌情給分）
（Ⅱ）∵MD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可選點D為原點，DA，DC，DM所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系（如圖）…（5分）
則A（2，0，0），M（0，0，2），C（0，2，0），N（2，2，1）．∴

AN

=(0，2，1)，…（6分）

MN

=(2，2，-1)，

MC

=(0，2，-2)，
設平面MNC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

2x+2y-z=0 2y-2z=0

，令z=2，則

n

=(-1，2，2)，…（7分）
設AN與平面MNC所成角為θ，∴sinθ=|cos?

AN

，

n

＞|=|

2×2+1×2

5 ×3

|=

2 5

5

．…（9分）
（Ⅲ）設E（x，y，z），

ME

MN

=λ，∴

ME

=λ

MN

，
又∵

ME

=(x，y，z-2)，

MN

=(2，2，-1)，
∴E點的坐標為（2λ，2λ，2-λ），…（11分）
∵AD⊥面MDC，∴AD⊥MC，欲使平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC，
∵

AE

=(2λ-2，2λ，2-λ)，

MC

=(0，2，-2)，
∵

AE

•

MC

=0∴4λ-2（2-λ）=0，
∴λ=

2

3

，
所以

ME

MN

=

2

3

．…（14分）

點評：本題考查平面與平面平行的性質定理，直線與平面所成角的求法，平面與平面垂直的判定定理的應用，向量法解決幾何問題的方法．考查空間想象能力與計算能力．