Question

給出以下三個命題：
（A）已知P（m，4）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一點，F₁、F₂是左、右兩個焦點，若△PF₁F₂的內切圓的半徑為

3

2

，則此橢圓的離心率e=

4

5

；
（B）過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的任意一動點M，引圓O：x²+y²=b²的兩條切線MA、MB，切點分別為A、B，若∠BMA=

π

2

，則橢圓的離心率e的取值范圍為[

3

2

，1)；
（C）已知F₁（-2，0）、F₂（2，0），P是直線x=-1上一動點，則以F₁、F₂為焦點且過點P的雙曲線的離心率e的取值范圍是[2，+∞）．
其中真命題的代號是

 

（寫出所有真命題的代號）．

Answer 1

分析：（A）根據△PF₁F₂的內切圓的半徑為

3

2

，利用內心的定義可得

PF2

F2M

=

PF1

F1M

=

PI

IM

（I為內心），利用橢圓的定義和離心率的計算公式，即可求得結果；
（B）由∠BMA=

π

2

得OM=

2

b，根據OM≤a，即可求得離心率的范圍，從而判定命題的真假；
（C）P是直線x=-1上一動點，可得P在x軸上時，雙曲線上點到左焦點距離最小，即a最小，從而雙曲線的離心率最大，可以得到結果．

解答：解：（1）設M是∠F₁PF₂的角平分線與x軸的交點，則：

PF2

F2M

=

PF1

F1M

=

PI

IM

（I為內心），

IM

PM

=

3 2

4

=

3

8

，∴

PI

IM

=

5

3

∵

PF2+PF1

F2M+F1M

=

PI

IM

=

2a

2c

∴e=

6

10

=

3

5

（2）由∠BMA=

π

2

得OM=

2

b，
∵OM≤a
∴a≥

2

b，∴a²≥2（a²-c²），
∴e∈[

2

2

，1)
（3）P在x軸上時，雙曲線上點到左焦點距離最小，
∴c-a≥1，∴2-a≥1，
∴a≤1e=

c

a

≥

a+1

a

=1+

1

a

又a≤1，∴e≥2

點評：本題主要考查了橢圓、雙曲線的簡單性質．求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齊次方程，再化含e的方程，解方程即可，屬中檔題．