Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）設(shè)不等式f（x）＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求實數(shù)a的取值范圍；

Answer 1

分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的極值點，連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個極值，那么極小值就是最小值；
（II）根據(jù)不等式f（x）＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，可轉(zhuǎn)化成，對任意的x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，將（1+a）x＜e^x變形為a＜

ex

x

-1，令g(x)=

ex

x

-1，利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）的最小值，使a小于最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-1
令f′（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，
解得x＜0．（2分）
從而f（x）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
所以，當(dāng)x=0時，f（x）取得最小值1．（5分）
（II）因為不等式f（x）＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，
所以，對任意的x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，（6分）
由f（x）＞ax，得（1+a）x＜e^x
當(dāng)x=0時，上述不等式顯然成立，
故只需考慮x∈（0，2]的情況．（7分）
將（1+a）x＜e^x變形為a＜

ex

x

-1（8分）
令g(x)=

ex

x

-1，則g′(x)=

(x-1)ex

x2

令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．（10分）
從而g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增．
所以，當(dāng)x=1時，g（x）取得最小值e-1，從而，
所求實數(shù)a的取值范圍是（-∞，e-1）．（12分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及恒成立問題，一般恒成立求參數(shù)問題常常將參數(shù)進行分離，轉(zhuǎn)化成研究已知函數(shù)在某個區(qū)間上的最值問題，考查了劃歸與轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．