Question

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數的圖象上的任意兩點（可以重合），點M在直線上，且=．
（Ⅰ）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值
（Ⅱ）已知S₁=0，當n≥2時，S_n=+++，求S_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設a_n=，T_n為數列{a_n}的前n項和，若存在正整數c、m，使得不等式成立，求c和m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出M的坐標，求出，．利用=．求出x₁+x₂的值，再用求出y₁+y₂的值．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，，化簡S_n=+++，可求S_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，利用a_n=，T_n為數列{a_n}的前n項和，求出T_n的表達式，
結合不等式，推出c，m的范圍，正整數c、m，可得c和m的值．
解答：解：（Ⅰ）∵點M在直線x=上，設M．又=，
即，，
∴x₁+x₂=1．（2分）
①當x₁=時，x₂=，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=-1-1=-2；
②當x₁≠時，x₂≠，
y₁+y₂=+=
==；
綜合①②得，y₁+y₂=-2．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=-2．
∴，k=1，2，3，，n-1．（7分）
n≥2時，S_n=+++，①
S_n=，②
①+②得，2S_n=-2（n-1），則S_n=1-n．
n=1時，S₁=0滿足S_n=1-n．
∴S_n=1-n．（10分）
（Ⅲ）a_n==2^1-n，T_n=1++=.??．T_m+1=2-，2T_m-T_m+1=-2+=2-，
∴，c、m為正整數，
∴c=1，
當c=1時，，
∴1＜2^m＜3，
∴m=1．（14分）
點評：本題考查分段函數，數列的求和，數列遞推式，相等向量與相反向量，考查學生分析問題解決問題的能力，是中檔題．