Question

已知函數f(x)=lnx-

1

2

ax2+bx（a＞0）且f′（1）=0，
（1）試用含a的式子表示b，并求函數f（x）的單調區間；
（2）已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂）為函數f（x）圖象上不同兩點，G（x₀，y₀）為AB的中點，記AB兩點連線斜率為K，證明：f′（x₀）≠K．

Answer 1

分析：（1）根據對數函數的定義求得函數的定義域，根據f（x）的解析式求出f（x）的導函數，利用f′（1）=0，代入導函數化簡即可得到a與b的關系式，用a表示出b；然后分別令導函數大于0和小于0得到關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相應的x的范圍即分別為函數的遞增和遞減區間；
（2）因為A與B在函數圖象上，所以把A和B的坐標分別代入函數解析式中得到關于兩點縱坐標的兩個關系式，利用斜率的算法表示出斜率k，然后利用中點坐標公式根據A和B的橫坐標表示出中點G的橫坐標，并把求出的G橫坐標的值代入導函數，利用反證法證明，方法是：假設表示出的斜率k等于G的橫坐標在導函數的函數值，化簡后令t=

x1

x2

，u（t）=lnt-

2t-2

t+1

，求出u（t）的導函數，判斷出導函數大于0得到u（t）為增函數，得到u（t）小于0與題意矛盾，所以假設錯誤，故f′（x₀）≠k．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f′（x）=

1

x

-ax+b=0，
∴b=a-1，∴f′（x）=

1

x

-ax+a-1=-

(ax+1)(x-1)

x

，
當f′（x）＞0時，得-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，
∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，
當f′（x）＜0時，得-

(ax+1)(x-1)

x

＜0，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，
；∴當f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；

（2）因A、B在f(x)=lnx-

1

2

ax2+bx(a＞0)的圖象上，
∴y1=lnx1-

1

2

ax12+(a-1)x1，y2=lnx2-

1

2

ax22+(a-1)x2，
∴K=

y2-y2

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a(x2+x2)+a-1，
∵x0=

x2+x1

2

，f′(x)=

1

x

-ax+a-1，
∴f′(x0)=

2

x2+x2

-a•

x2+x2

2

+a-1，
假設k=f′（x₀），則得：

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a(x2+x2)+a-1=

2

x2+x2

-a•

x2+x2

2

+a-1，
即

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，
即ln

x1

x2

=

2 x1 x2 -2

x1 x2 +1

，令t=

x1

x2

，u(t)=lnt-

2t-2

t+1

(0＜t＜1)，
∵u′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函數，∴u（t）＜u（1）=0，
∴lnt-

2t-2

t+1

＜0，所以假設k=f′（x₀）不成立，
故f′（x₀）≠k．

點評：此題考查學生會利用導函數的正負求出函數的單調區間，靈活運用中點坐標公式化簡求值，掌握反證法進行命題證明的方法，是一道綜合題．