Question

設全集U=R，關于x的不等式|x+2|+a-2＞0（a∈R）的解集為A．
（1）分別求出當a=1和a=3時的集合A；
（2）設集合B={x|

3

sin(πx-

π

6

)+cos(πx-

π

6

)=0}，若（C_UA）∩B中有且只有三個元素，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據所給的a的值，代入不等式，根據絕對值不等式的意義，寫出不等式的解集，當a=1時，A=（-∞，-3）∪（-1，+∞），當a=3時，A=R．
（2）由|x+2|+a-2＞0可以得到：|x+2|＞2-a，當a＞2，解集是R，根據a的取值不同，寫出對應的補集，根據集合的交并運算求出結果．

解答：解：（1）當a=1時，A=（-∞，-3）∪（-1，+∞）…（3分）
當a=3時，A=R…（6分）
（2）由|x+2|+a-2＞0可以得到：|x+2|＞2-a．
當a＞2，解集是R；
當a≤2時，解集是{x|x＜a-4或x＞-a}…（8分）
（i）當a＞2時，C_UA=φ，不合題意；
（ii）當a≤2時，C_UA={x|a-4≤x≤-a}…（10分）
因

3

sin(πx-

π

6

)+cos(πx-

π

6

)=2[sin(πx-

π

6

)cos

π

6

+cos(πx-

π

6

)sin

π

6

]
=2sinπx
由sinπx=0，得πx=kπ（k∈Z），即x=k∈Z，所以B=Z…（12分）
當（C_UA）∩B有3個元素時，a就滿足

a＜2 -4＜a-4≤-3 -1≤-a＜0

可以得到：0＜a≤1…（14分）

點評：本題考查集合的運算和不等式的解集的求法，本題解題的關鍵是求出不等式的解集和熟練應用集合之間的關系，本題是一個中檔題目．