Question

設全集U=R．
（1）解關于x的不等式|x-1|+a-1＞0（a∈R）；
（2）記A為（1）中不等式的解集，集合B={x|sin(πx-

π

3

)+

3

cos(πx-

π

3

)=0}，若（C_UA）∩B恰有3個元素，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）不等式即|x-1|＞1-a，a＞1時，解集是R，a≤1時，解集是{x|x＜a，或 x＞2-a}．
（2）當a≤1時，C_UA={x|a≤x≤2-a}，利用兩角和的正弦公式得到sinπx=0，B=Z，當（C_UA）∩B恰有3個元素時，
滿足

a＜1 2≤2-a＜3 -1＜a≤0.

 成立，解出a的范圍．

解答：解：（1）由|x-1|+a-1＞0 得|x-1|＞1-a．
當a＞1時，解集是R；
當a≤1時，解集是{x|x＜a，或 x＞2-a}；（4分）
（2）當a＞1時，C_UA=∅，不滿足條件．當a≤1時，C_UA={x|a≤x≤2-a}．（6分）
因sin(πx-

π

3

)+

3

cos(πx-

π

3

)=2[sin(πx-

π

3

)cos

π

3

+cos(πx-

π

3

)sin

π

3

]=2sinπx．
由sinπx=0，得πx=kπ（k∈Z），即x=k∈Z，所以B=Z．（10分）
當（C_UA）∩B恰有3個元素時，
a就滿足

a＜1 2≤2-a＜3 -1＜a≤0.

，
解得-1＜a≤0．（14分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，兩角和的正弦公式的應用，體現了分類討論的數學思想．