Question

如圖多面體ABCDEF，AB∥CD∥EF　FD丄面ABCD BC=AD=AB=2，EF=3，DC=4，FD=1
（I）若G是BC的中點，求證：EG∥平面AFD；
（II）求直線EC與平面BDF所成角的正切值．

Answer 1

解：（I）證明：取AD的中點H，連接FH，GH，因為GH∥DC∥EF，GH=EF=3，所以四邊形EFGH為平行四邊形
故有EG∥FH，
又EG?平面ADE，FH?平面ADE
所以EG∥平面AFD
（II）解：過F作FM∥EC，過M作MN⊥BD，垂足為N，連接FN，
因為FD⊥面ABCD，所以FD⊥MN，BD∩FD=D
所以MN⊥面BDF，
所以∠MFN就是EC與面BDF所成的角
過B作BO⊥DC，垂足為O，
因為四邊形ABCD是等腰梯形
所以OC=1，BO=，DO=3，DM=1，BD=2
因為△DBO∽△DMN
所以MN=
在Rt△FDM中，FM=
所以在Rt△FNM中，FN=
所以tan∠MFN==
故直線EC與平面BDF所成角的正切值為
分析：（I）取AD的中點H，先利用平行公理及梯形中位線定理證明四邊形EFGH為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理證明EG∥平面AFD
（II）先作出這個線面角的平面角，即過F作FM∥EC，過M作MN⊥BD，垂足為N，連接FN，再利用線面垂直的判定定理證明
MN⊥面BDF，從而證明∠MFN就是EC與面BDF所成的角，最后在直角三角形中計算此角的正切值即可
點評：本題綜合考查了線面平行的判定，平行公理，線面垂直的判定，以及線面角的作法、證法、算法，體現了將空間問題轉化為平面問題的思想方法，解題時要辨清線面關系，避免想當然思想和運算錯誤