Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)f(x)=m(x－1)²－2x+3+lnx（m≥1）．

(Ⅰ)當(dāng)時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，3]上的極小值；

（Ⅱ）求證：函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間[a，b]；

（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)m，使曲線C：y=f(x)在點(diǎn)P（1，1）處的切線l與曲線C有且只有一個公共點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)（x>0）．

當(dāng)時，，令，得x₁=2，x₂=．

f(x)，的變化情況如下表：

x	(0，)		（，2）	2	（2，+∞）
	+	0	－	0	+
f(x)	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以，當(dāng)x＝2時，函數(shù)f(x)取到極小值，且極小值為f(2)=ln2－．………………………… 4分

（Ⅱ）令＝0，得mx²－(m+2)x+1=0．  （*）

因?yàn)椤鳎?m+2)²－4m=m²+4>0，所以方程（*）存在兩個不等實(shí)根，記為a，b（a<b）．

因?yàn)閙≥1，所以

所以a>0，b>0，即方程（*）有兩個不等的正根，因此<0的解為（a，b）．

故函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間．………………………… 8分

（Ⅲ）因?yàn)?sub>，所以曲線C：y=f(x)在點(diǎn)P(1，1)處的切線l為y=－x+2．

若切線l與曲線C只有一個公共點(diǎn)，則方程m(x－1)²－2x+3+lnx=－x+2有且只有一個實(shí)根．

顯然x＝1是該方程的一個根．

令g(x)=m(x－1)²－x+1+lnx，則．

當(dāng)m=1時，有≥0恒成立，所以g(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以x＝1是方程的唯一解，m=1符合題意．

當(dāng)m>1時，令＝0，得x₁=1，x₂=，則x₂∈（0，1），易得g(x)在x₁處取到極小值，在x₂處取到極大值．

所以g(x₂)>g(x₁)=0，又當(dāng)x→0時，g(x)→－∞，所以函數(shù)g(x)在（0，）內(nèi)也有一個解，即當(dāng)m>1時，不合題意．

綜上，存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)m＝1時，曲線C：y=f(x)在點(diǎn)P（1，1）處的切線l與C有且只有一個公共點(diǎn)．……… 14分