Question

設f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數，f（x+2）=-f（x），當0≤x≤1時，f（x）=x．
（1）求f（π）的值；
（2）當-4≤x≤4時，求f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積；
（3）寫出（-∞，+∞）內函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）利用f（x+2）=-f（x）得f（x）是以4為周期的周期函數，從而可求f（π）的值；
（2）當-4≤x≤4時，確定函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，可得f（x）的圖象，從而可求圖象與x軸所圍成圖形的面積；
（3）根據周期性，結合函數的通項，即可得到函數f（x）的單調區間．

解答：解：（1）由f（x+2）=-f（x）得，f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
所以f（x）是以4為周期的周期函數，
∴f（π）=f（-1×4+π）=f（π-4）=-f（4-π）=-（4-π）=π-4．
（2）由f（x）是奇函數與f（x+2）=-f（x），得：f[（x-1）+2]=-f（x-1）=f[-（x-1）]，即f（1+x）=f（1-x）．
故知函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
又0≤x≤1時，f（x）=x，且f（x）的圖象關于原點成中心對稱，則f（x）的圖象如圖所示．

當-4≤x≤4時，f（x）的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S=4S_△OAB=4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(

1

2

×2×1))=4．
（3）函數f（x）的單調遞增區間為[4k-1，4k+1]（k∈Z），單調遞減區間[4k+1，4k+3]（k∈Z）

點評：本題考查函數的奇偶性與周期性，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．