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（2012•孝感模擬）對于三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定義：設f″（x）是函數y=f（x）的導數y=f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數y=f（x）的“拐點”．有同學發現“任何一個三次函數都有‘拐點’；任何一個三次函數都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心．”請你將這一發現為條件，求
（1）函數f（x）=x3-3x2+3x對稱中心為
（1，1）
（1，1）
．
（2）若函數g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
，則g（
1
2011
）+g（
2
2011
）+g（
3
2011
）+g（
4
2011
）+…+g（
2010
2011
）=
2010
2010
．
分析：（1）根據函數f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函數f（x）=x3-3x2+3x對稱中心．
（2）令h（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，m（x）=
2
2x-1
，則g（x）=h（x）+m（x）．利用對稱性求得h（
1
2011
）+h（
2
2011
）+h（
3
2011
）+h（
4
2011
）+…+h（
2010
2011
）=2010，求得m（
1
2011
）+m（
2
2011
）+m（
3
2011
）+m（
4
2011
）+…+m（
2010
2011
）=0，從而求得g（x）=h（x）+m（x）的值．
解答：解：（1）∵函數f（x）=x3-3x2+3x，∴f′（x）=3x2 -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函數f（x）=x3-3x2+3x對稱中心為（1，1），
故答案為 （1，1）．
（2）若函數g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
2
2x-1
，令h（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，m（x）=
2
2x-1
，則g（x）=h（x）+m（x）．
 則h′（x）=x2-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=
1
2
，故h（x）的對稱中心為（
1
2
，1）．
設點p（x0，y0）為曲線上任意一點，則點P關于（
1
2
，1）的對稱點P′（1-x0，2-y0）也在曲線上，
∴h（1-x0）=2-y0 ，∴h（x0）+h（1-x0）=y0+（2-y0）=2．
∴h（
1
2011
）+h（
2
2011
）+h（
3
2011
）+h（
4
2011
）+…+h（
2010
2011
）
=[h（
1
2011
）+h（
2010
2011
）]+[h（
2
2011
）+h（
2009
2011
）]+[h（
3
2011
）+h（
2008
2011
）]+…+[h（
1005
2011
）+h（
1006
2011
）]=1005×2=2010．
由于函數m（x）=
2
2x-1
的對稱中心為（
1
2
，0），可得m（x0）+m（1-x0）=0．
∴m（
1
2011
）+m（
2
2011
）+m（
3
2011
）+m（
4
2011
）+…+m（
2010
2011
）
=[m（
1
2011
）+m（
2010
2011
）]+[m（
2
2011
）+m（
2009
2011
）]+[m（
3
2011
）+m（
2008
2011
）]+…+[m（
1005
2011
）+m（
1006
2011
）]=1005×0=0．
∴g（
1
2011
）+g（
2
2011
）+g（
3
2011
）+g（
4
2011
）+…+g（
2010
2011
）=h（
1
2011
）+h（
2
2011
）+h（
3
2011
）+h（
4
2011
）+…+h（
2010
2011
）
+m（
1
2011
）+m（
2
2011
）+m（
3
2011
）+m（
4
2011
）+…+m（
2010
2011
）
=2010+0=2010，
故答案為2010．
點評：本小題主要考查函數與導數等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查化簡計算能力，求函數的值以及函數的對稱性的應用，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•孝感模擬）已知cos（α+
π
6
）-sinα=
2
3
3
，則sin（α-
7π
6
）的值是
2
3
2
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•孝感模擬）某公司生產一種產品，每年需投入固定成本0.5萬元，此外每生產1百件這樣的產品，還需增加投入0.25萬元，經市場調查知這種產品年需求量為5百件，產品銷售數量為t（百件）時，銷售所得的收入為(5t-
12
t2)萬元．
（1）該公司這種產品的年生產量為x百件，生產并銷售這種產品所得到的利潤關于當年產量x的函數為f（x），求f（x）．
（2）當該公司的年產量為多少件時，當年所獲得的利潤最大．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•孝感模擬）在△ABC中，∠A=90°，且
AB
•
BC
=-1，則邊AB的長為
1
1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•孝感模擬）如圖，在A、B間有四個焊接點，若焊接點脫落，而可能導致電路不通，如今發現A、B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•孝感模擬）某校高一（2）班共有60名同學參加期末考試，現將其數學學科成績（均為整數）分成六個分數段[40，50），[50，60），…，[90，100]，畫出如右圖所示的部分頻率分布直方圖，請觀察圖形信息，回答下列問題：
（I ）求7O～80分數段的學生人數；
（II）估計這次考試中該學科的優分率（80分及以上為優分）；
（III）現根據本次考試分數分成的六段（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第六組），為提高本班數學整體成績，決定組與組之間進行幫扶學習．若選出的兩組分數之差大于30分（以分數段為依據，不以具體學生分數為依據），則稱這兩組為“最佳組合”，試求選出的兩組為“最佳組合”的概率．

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