Question

已知公比為q（0＜q＜1）的無窮等比數列{a_n}各項的和為9，無窮等比數列{a_n²}各項的和為，
(Ⅰ)求數列{a_n}的首項a₁和公比q；
(Ⅱ)對給定的k（k=1，2，3，…，n），設T^（k）是首項為a_k，公差為2a_k-1的等差數列。求數列T^（2）的前10項之和；
(Ⅲ)設b_i為數列T^（i）的第i項，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n，并求正整數m（m＞1），使得存在且不等于零。
（注：無窮等比數列各項的和即當n→∞時該無窮數列前n項和的極限）

Answer 1

解：(Ⅰ)依題意可知，；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，
所以數列的首項為，公差，
，
即數列的前10項之和為155；
(Ⅲ)，
，
，
當m=2時，，
當m>2時，=0，
所以m=2。