Question

已知公比為q（0＜q＜1）的無窮等比數列{a_n}各項的和為9，無窮等比數列{a_n²}各項的和為．
（1）求數列{a_n}的首項a₁和公比q；
（2）對給定的k（k=1，2，3，…，n），設T^（k）是首項為a_k，公差為2a_k-1的等差數列，求T^（2）的前2007項之和；
（3）（理）設b_i為數列T^（i）的第i項，S_n=b₁+b₂+…+b_n：
①求S_n的表達式，并求出S_n取最大值時n的值．
②求正整數m（m＞1），使得存在且不等于零．
（文）設b_i為數列T^（i）的第i項，S_n=b₁+b₂+…+b_n：求S_n的表達式，并求正整數m（m＞1），使得存在且不等于零．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，利用等比數列前n項和公式可以出一個方程組，解這個方程組，得到數列{a_n}的首項a₁和公比q．
（2）由，知數列T^（2）的首項為t₁=a₂=2，公差d=2a₂-1=3，由此能求出T^（2）的前2007項之和．
（3）（理）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=；①；由此計算得，所以S_n當n=5時取最大值．②=，由此分類討論進行求解．
（文）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=；；=，由此分類討論進行求解．
解答：解：（1）依題意可知，．
（2）由（1）知，，所以數列T^（2）的首項為t₁=a₂=2，公差d=2a₂-1=3，，即數列的前2007項之和為6043077．
（3）（理）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=；
①；
由，解得n=2，
計算可得，
因為當n≥2時，b_n＞b_n+1，所以S_n當n=5時取最大值．
②=，
當m=2時，=-，當m＞2時，=0，所以m=2．

（文）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=；；=，
當m=2時，=-，當m＞2時，=0，所以m=2．
點評：本題考查數列的極限和運算，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．