Question

函數的定義域為．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）設函數．若對于任意x₁∈，總存在x₂∈，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導函數，，∵定義域為，∴f′（x）＞0
∴函數在定義域內為增函數，所以函數的值域為即
（2）對函數g（x）求導，得 g′（x）=3（x²-a）
因此，當時，g′（x）≤0，所以當時，g（x）為減函數，
從而當時，有
即當時，
任給x₁∈，，存在x₂∈使得g（x₂）=f（x₁），
則
即，結合  解得 
分析：（1）先求導函數，根據函數的定義域，可知導數大于0，從而函數在定義域內為增函數，所以可求函數的值域；（2）對函數g（x）求導，得 g′（x）=3（x²-a），根據，，可知g′（x）≤0，所以當時，g（x）為減函數，從而可求函數g（x）的值域；任給x₁∈，，要使存在x₂∈使得g（x₂）=f（x₁），則函數f（x）的值域是函數g（x）的值域的子集，從而可得結論．
點評：本題以具體函數為載體，考查利用導數確定函數的單調性，考查函數的值域，同時考查存在性問題的求解，其中將函數f（x）的值域是函數g（x）的值域的子集，是解題的關鍵．