Question

已知函數f(x)=|x-a|-

9

x

+a，x∈[1，6]，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，試判斷并證明函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）當a∈（1，6）時，求函數f（x）的最大值的表達式M（a）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可求得f（x）=x-

9

x

，利用f′（x）＞0即可判斷其單調性；
（Ⅱ）由于1＜a＜6，可將f（x）化為f（x）=

2a-(x+ 9 x )，1≤x≤a x- 9 x ，a＜x≤6

，分1＜a≤3與3＜a＜6討論函數的單調性，從而求得函數f（x）的最大值的表達式M（a）．

解答：解：（1）∵a=1，x∈∈[1，6]，
∴f（x）=|x-1|-

9

x

+1=x-

9

x

，
∴f′（x）=1+

9

x2

＞0，
∴f（x）是增函數；
（2）因為1＜a＜6，所以f（x）=

2a-(x+ 9 x )，1≤x≤a x- 9 x ，a＜x≤6

，
①當1＜a≤3時，f（x）在[1，a]上是增函數，在[a，6]上也是增函數，
所以當x=6時，f（x）取得最大值為

9

2

．
②當3＜a＜6時，f（x）在[1，3]上是增函數，在[3，a]上是減函數，在[a，6]上是增函數，
而f（3）=2a-6，f（6）=

9

2

，
當3＜a≤

21

4

 時，2a-6≤

9

2

，當x=6時，f（x）取得最大值為

9

2

．
當

21

4

≤a＜6時，2a-6＞

9

2

，當x=3時，f（x）取得最大值為2a-6．
綜上得，M（a）=

9 2 ，1≤a≤ 21 4 2a-6， 21 4 ＜a≤6

．

點評：本題考查帶絕對值的函數，考查函數單調性的判斷與證明，著重考查函數的最值的求法，突出分類討論思想與化歸思想的考查，屬于難題．