Question

“x₀=2kπ+

π

4

（k∈Z）”是“函數f（x）=sinx•cosx在x₀處取得最大值”的（　�。�

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：當x₀=2kπ+

π

4

（k∈Z）時，得到函數f（x₀ ）=

1

2

，是最大值，故充分性成立．當函數f（x）在x₀處取得最大值時，解得x₀ =kπ+

π

4

，k∈z．故此時x₀不一定是2kπ+

π

4

（k∈Z），故必要性不成立，由此得出結論．

解答：解：當x₀=2kπ+

π

4

（k∈Z）時，函數f（x₀ ）=sinx₀•cosx₀=

1

2

sin2x₀ =

1

2

sin2（2kπ+

π

4

）=

1

2

，
是函數f（x）=sinx•cosx的一個最大值，故函數f（x）=sinx•cosx在x₀處取得最大值，故充分性成立．
當函數f（x）=sinx•cosx=

1

2

sin2x 在x₀處取得最大值時，2 x₀ =2kπ+

π

2

，k∈z．
解得 x₀ =kπ+

π

4

，k∈z．故此時x₀不一定是2kπ+

π

4

（k∈Z），故必要性不成立．
故選A．

點評：本題主要考查正弦函數的定義域和值域、二倍角公式，以及充分條件、必要條件、充要條件的定義，屬于基礎題．