Question

【題目】如圖，點在拋物線外，過點作拋物線的兩切線，設兩切點分別為，，記線段的中點為.

（Ⅰ）求切線，的方程；

（Ⅱ）證明：線段的中點在拋物線上；

（Ⅲ）設點為圓上的點，當取最大值時，求點的縱坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）切線的方程為,切線的方程為.

（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）結合導數的幾何意義可得切線，的方程；（Ⅱ）由（1）可得，，故，.再結合M點的坐標即可明確在拋物線上；（Ⅲ）由題意可得. 設，則.結合均值不等式即可得到結果.

（Ⅰ）切線的方程為，即，

同理可得，切線的方程為.

（另解：設切線的方程為：

由消去后可得：

∴

∴切線的方程為，即，

同理可得，切線的方程為.

（Ⅱ）因為點既在切線上，也在切線上，

由（1）可得，，故，.

又點的坐標為.

所以點的縱坐標為，

即點的坐標為.故在拋物線上.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知： ，

，所以 .

設，則.

當時，即當時，取最大值.