Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，，側面是等腰直角三角形，，平面平面，點分別是棱上的點，平面平面.

（1）確定點的位置，并說明理由；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）因為平面平面，求得，又由，進而得到

點是的中點，又因為平面平面，得，得點是的中點；

（2）以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求得平面，平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

詳解：（1）因為平面平面，平面平面，

平面平面，

所以，又因為，

所以四邊形是平行四邊形，

所以，即點是的中點，

因為平面平面，平面平面，

平面平面，

所以，點是的中點，所以點是的中點，

綜上，分別是的中點.

（2）因為，所以，

又因為平面平面，所以平面，

又，所以.

如圖以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

由中點公式得到，

設平面，平面的法向量分別為，，

由，得：，

令，得，

由，得：，

令，得

所以.

綜上，二面角的余弦值是.