Question

【題目】已知橢圓與雙曲線有相同的焦點坐標，且點在橢圓上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設A、B分別是橢圓的左、右頂點，動點M滿足，垂足為B，連接AM交橢圓于點P（異于A），則是否存在定點T，使得以線段MP為直徑的圓恒過直線BP與MT的交點Q，若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在符合題意

【解析】

（1）由題意可列方程，解之可得橢圓的標準方程；

（2）可設直線AP的方程是（），聯立直線與橢圓方程，消去得到關于的一元二次方程，再結合跟系數的關系可得點坐標，設存在點，使得以MP為直徑的圓恒過直線BP、MT的交點，可得，代入的斜率，可得點T的坐標.

解：（1）因為雙曲線的焦點坐標為，

所以設所求的橢圓的方程為（），

則，解得，

所以橢圓的標準方程是.

（2）設直線AP的方程是（），

將其與聯立，消去y得，設，

則，

所以，所以

，

易知，

設存在點，使得以MP為直徑的圓恒過直線BP、MT的交點

，對于任意成立，

即，對于任意成立，，

所以存在符合題意.