Question

【題目】如圖．設橢圓C： （a＞b＞0）的離心率e= ，橢圓C上一點M到左、右兩個焦點F1、F2的距離之和是4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：x=1與橢圓C交于P、Q兩點，P點位于第一象限，A、B是橢圓上位于直線l兩側的動點，若直線AB的斜率為 ，求四邊形APBQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C上一點M到左、右兩個焦點F1、F2的距離之和是4，

∴2a=4，即a=2，

又∵離心率e= ，

∴ = ，即b2=3，

∴橢圓C的方程為： ；

（2）解：依題意， ，解得：yP= ，

設T（1，t），則﹣ ＜t＜ ，

∵過點T的直線AB的斜率為 ，

∴直線AB方程為：x﹣2y+2t﹣1=0，

∴點P到直線AB的距離dP= = ，

點Q到直線AB的距離dQ= = ，

聯立直線AB與橢圓方程，消去x整理得：

16y2﹣12（2t﹣1）y+12t2﹣12t﹣9=0，

∴y1+y2= ，y1y2= ，

∴ =

= ﹣4

= ，

∴|AB|2= + =5 ，

∴S四邊形APBQ= |AB|（dP+dQ）

= （ + ）

= ，

記f（t）=﹣4t2+4t+15=﹣4 +16，

則當t= 時，f（t）取最大值16，此時S四邊形APBQ取最大值，

∴四邊形APBQ面積取最大值 = ．

【解析】（1）通過橢圓C上一點M到左、右兩個焦點F1、F2的距離之和是4、利用橢圓定義可知a=2，通過離心率e= 可知b2=3，進而可得結論；（2）由（1）可知yP= ，通過設T（1，t）（﹣ ＜t＜ ），利用過點T的直線AB的斜率為 可知直線AB方程為x﹣2y+2t﹣1=0，進而可知點P到直線AB的距離dP= 、點Q到直線AB的距離dQ= ，通過聯立直線AB與橢圓方程、利用韋達定理及兩點間距離公式可知|AB|2=5 ，利用S四邊形APBQ= |AB|（dP+dQ）計算可知S四邊形APBQ= ，通過配方可知f（t）=﹣4t2+4t+15在t= 時取最大值16，進而可得結論．