Question

對任意函數f（x），x∈D，可按圖構造一個數列發生器．記由數列發生器產生數列{x_n}．
（Ⅰ）若定義函數，且輸入，請寫出數列{x_n}的所有項；
（Ⅱ）若定義函數f（x）=2x+3，且輸入x=-1，求數列{x_n}的通項公式x_n．
（Ⅲ）若定義函數f（x）=xsinx（0≤x≤2π），且要產生一個無窮的常數列{x_n}，試求輸入的初始數據x的值及相應數列{x_n}的通項公式x_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）函數的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），由此能推導出數列{x_n}只有三項．
（Ⅱ）f（x）=2x+3的定義域為R，若x=-1，則x₁=1，則x_n+1+3=2（x_n+3），從而得到數列{x_n+3}是首項為4，公比為2的等比數列，由此能求出數列{x_n}的通項公式．
（Ⅲ） 若要產生一個無窮的常數列，則f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，由此能求出輸入的初始數據x的值及相應數列{x_n}的通項公式x_n．
解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）函數的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞）…（1分）
把代入可得，
把代入可得，
把代入可得x₃=-1
因為x₃=-1∉D，
所以數列{x_n}只有三項：…（4分）
（Ⅱ）f（x）=2x+3的定義域為R，
若x=-1，則x₁=1，
則x_n+1=f（x_n）=2x_n+3，所以x_n+1+3=2（x_n+3），
所以數列{x_n+3}是首項為4，公比為2的等比數列，
所以，
所以，
即數列{x_n}的通項公式．…（9分）
（Ⅲ） 若要產生一個無窮的常數列，
則f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，
即x（sinx-1）=0在[0，2π]上有解，
則x=0或sinx=1，所以x=0或
即當
故當x=0時，x_n=0；當．…（14分）
點評：本題考查數列的所有項的求法，考查數列的通項公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．