Question

對任意函數f（x），x∈D，可按圖構造一個數列發生器．記由數列發生器產生數列{x_n}．
（Ⅰ）若定義函數f(x)=

4x-2

x+1

，且輸入x0=

49

65

，請寫出數列{x_n}的所有項；
（Ⅱ）若定義函數f（x）=2x+3，且輸入x₀=-1，求數列{x_n}的通項公式x_n．
（Ⅲ）若定義函數f（x）=xsinx（0≤x≤2π），且要產生一個無窮的常數列{x_n}，試求輸入的初始數據x₀的值及相應數列{x_n}的通項公式x_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數f(x)=

4x-2

x+1

的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），由此能推導出數列{x_n}只有三項x1=

11

19

，x2=

1

5

，x3=-1．
（Ⅱ）f（x）=2x+3的定義域為R，若x₀=-1，則x₁=1，則x_n+1+3=2（x_n+3），從而得到數列{x_n+3}是首項為4，公比為2的等比數列，由此能求出數列{x_n}的通項公式．
（Ⅲ） 若要產生一個無窮的常數列，則f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，由此能求出輸入的初始數據x₀的值及相應數列{x_n}的通項公式x_n．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）函數f(x)=

4x-2

x+1

的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞）…（1分）
把x0=

49

65

代入可得x1=

11

19

，
把x1=

11

19

代入可得x2=

1

5

，
把x2=

1

5

代入可得x₃=-1
因為x₃=-1∉D，
所以數列{x_n}只有三項：x1=

11

19

，x2=

1

5

，x3=-1…（4分）
（Ⅱ）f（x）=2x+3的定義域為R，
若x₀=-1，則x₁=1，
則x_n+1=f（x_n）=2x_n+3，所以x_n+1+3=2（x_n+3），
所以數列{x_n+3}是首項為4，公比為2的等比數列，
所以xn+3=4•2n-1=2n+1，
所以xn=2n+1-3，
即數列{x_n}的通項公式xn=2n+1-3．…（9分）
（Ⅲ） 若要產生一個無窮的常數列，
則f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，
即x（sinx-1）=0在[0，2π]上有解，
則x=0或sinx=1，所以x=0或x=

π

2

即當x0=0或x0=

π

2

時，xn+1=xnsinxn=xn
故當x₀=0時，x_n=0；當x0=

π

2

時，xn=

π

2

．…（14分）

點評：本題考查數列的所有項的求法，考查數列的通項公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．