Question

已知甲、乙、丙等6人．
（1）這6人同時參加一項活動，必須有人去，去幾人自行決定，共有多少種不同的去法？
（2）這6人同時參加6項不同的活動，每項活動限1人參加，其中甲不參加第一項活動，乙不參加第三項活動，共有多少種不同的安排方法？
（3）這6人同時參加4項不同的活動，求每項活動至少有1人參加的概率．

Answer 1

分析：（1）分別求出這6個人只去1個人、只去2個人、只去3個人、只去4個人、只去5個人，6的人全去的方法數，相加
即得所求．
（2）所有的安排方法共有

A

6 6

種，求得甲參加第一項活動的方法有

A

5 5

種，乙參加第三項活動的方法有

A

5 5

種，甲
參加第一項活動而且乙參加第三項活動的方法有

A

4 4

種，
則 

A

6 6

-2

A

5 5

+

A

4 4

 的結果即為所求．
（3）求得每項活動至少有1人參加的方法有 （

C

3 6

+

1

2

C

2 6

•

C

2 4

）•

A

4 4

種，再求得所有的安排方法共有 4⁶ 種，
由此求得每項活動至少有1人參加的概率．

解答：解：（1）分別求出這6個人只去1個人、只去2個人、只去3個人、只去4個人、只去5個人，6的人全去的方法數，
分別為

C

1 6

、

C

2 6

、

C

3 6

、

C

4 6

、

C

5 6

、

C

6 6

，
故共有

C

1 6

+

C

2 6

+

C

3 6

+

C

4 6

+

C

5 6

+

C

6 6

=2⁶-1=63 種方法．
（2）所有的安排方法共有

A

6 6

種，其中甲參加第一項活動的方法有

A

5 5

種，乙參加第三項活動的方法有

A

5 5

種，
甲參加第一項活動而且乙參加第三項活動的方法有

A

4 4

種，
故甲不參加第一項活動且乙不參加第三項活動的不同的安排方法有

A

6 6

-2

A

5 5

+

A

4 4

=720-240+24=504 種．
（3）這6人同時參加4項不同的活動，每項活動至少有1人參加，若各項活動的人數為3、1、1、1時，有

C

3 6

•

A

4 4

種方法，
若各項活動的人數為2、2、1、1，則有

1

2

C

2 6

•

C

2 4

•

A

4 4

種方法，
故滿足條件的方法數為 （

C

3 6

+

1

2

C

2 6

•

C

2 4

）•

A

4 4

=65×24種．
而所有的安排方法共有 4⁶ 種，故每項活動至少有1人參加的概率為

65×24

46

=

195

512

．

點評：本題主要考查排列組合的實際應用，本題解題的關鍵是對于有限制的元素要優先排，特殊位置要優先排，體現了
分類討論的數學思想．當直接解的情況比較復雜時，可以考慮用間接解法，是一個中檔題目．