Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，滿足：①圖象過原點(diǎn)；②f（1-x）=f（1+x）；③g（x）=f（x）-x²是奇函數(shù)．解答下列各題：
（1）求c； 
（2）證明：b=-2a；  
（3）求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c圖象過原點(diǎn)，知f（0）=c=0，由此能求出c．
（2）由c=0，知f（x）=ax²+bx，由f（1-x）=f（1+x），得-4ax=2bx，由此能夠證明b=-2a．
（3）由g（x）=f（x）-x²=ax²+bx-x²=（a-1）x²+bx是奇函數(shù)，知a=1，故b=-2a=-2，由此能求出f（x）．

解答：（1）解：∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c圖象過原點(diǎn)，
∴f（0）=c=0，
故c=0．
（2）證明：∵c=0，∴f（x）=ax²+bx，
∵f（1-x）=f（1+x），
∴a（1-x）²+b（1-x）=a（1+x）²+b（1+x），
即a-2ax+ax²+b-bx=a+2ax+ax²+b+bx，
整理，得-4ax=2bx，
∴b=-2a．
（3）解：∵g（x）=f（x）-x²=ax²+bx-x²=（a-1）x²+bx是奇函數(shù)，
∴a-1=0，即a=1，
∴b=-2a=-2，
∴f（x）=x²-2x．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．