Question

已知橢圓的兩個焦點，過F₁且與坐標軸不平行的直線l₁與橢圓相交于M，N兩點，如果△MNF₂的周長等于8．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點P、Q，試問在x軸上是否存在定點E（m，0），使恒為定值？若存在，求出E的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）由題意知c=，4a=8，∴a=2，b=1
∴橢圓的方程為=1
（II）當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，
則l的方程為y=k（x﹣1），
消去y得（4k²+1）x²﹣8k²x+4k²﹣4=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則由韋達定理得，
則，
∴
=m²﹣m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²﹣m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁﹣1）（x₂﹣1）=
=
要使上式為定值須，
解得
∴為定值
當直線l的斜率不存在時由
可得
∴=
綜上所述當時，為定值．