Question

已知復數z₁=sinx+λi，z₂=m+（m-

3

cosx）i（λ，m，x∈R），且z₁=z₂．
（I）若λ=0，且0＜x＜π，求x的值；
（II）設f（x）=λcosx，求f（x）的最小正周期和單調遞減區間．

Answer 1

分析：（I）利用兩個復數相等的充要條件求得tanx=

3

，再由 0＜x＜π 可得 x的值．
（II）由z₁=z₂ 可得 λ=sinx-

3

cosx，再利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式為sin（2x-

π

3

）-

3

2

，由此求得函數 f（x）的最小正周期，由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，
k∈z，求得x的范圍，即可得到f（x）的單調遞減區間．

解答：解：（I）若λ=0，且0＜x＜π，由z₁=z₂ 可得 m=sinx，m-

3

cosx=0，
∴sinx-

3

cosx=0，tanx=

3

．再由 0＜x＜π 可得 x=

π

3

．
（II）由z₁=z₂ 可得 m=sinx，m-

3

cosx=λ，∴λ=sinx-

3

cosx，
∴f（x）=λcosx=（sinx-

3

cosx ）cosx=

1

2

sin2x-

3

2

(1+cos2x)=sin（2x-

π

3

）-

3

2

，
故函數 f（x）的最小正周期等于

2π

2

=π．
由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得 kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈z．
故f（x）的單調遞減區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈z．

點評：本題主要考查兩個復數相等的充要條件，三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的周期性和單調性，化簡函數的解析式為sin（2x-

π

3

）-

3

2

，是解題的關鍵，屬于中檔題．