Question

設復數z₁，z₂滿足z₁z₂+2i z₁-2i z₂+1=0．
（Ⅰ）若z₁，z₂滿足

.

z2

-z₁=2i，求z₁，z₂；
（Ⅱ）若|z₁|=

3

，是否存在常數k，使得等式|z₂-4 i|=k恒成立，若存在，試求出k；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用條件

.

z2

-z₁=2i化簡z₁z₂+2i z₁-2i z₂+1=0．保留z₁，再求解．
（2）將z₁z₂+2i z₁-2i z₂+1=0．求出化簡z₁，用|z₁|=

3

，解z₂然后求出k即可．

解答：解：（Ⅰ）由

.

z2

=z₁+2i，兩邊同時取共軛復數可得：z₂=

.

z1

-2i．
代入已知方程得：z₁（

.

z1

-2i）+2iz₁-2i（

.

z1

-2i）+1=0．
即|z₁|²-2i

.

z1

-3=0．令z₁=a+bi，
即可得到a²+b²-2i（a-bi）-3=0．
即（a²+b²-2b-3）-2ai=0．
解得a=0，b=3，或a=0，b=-1．
∴z₁=3i，z₂=-5i，或z₁=-i，z₂=-i．
（Ⅱ）由已知得z₁=

2iz2-1

z2+2i

．又∵|z₁|=

3

，
∴|

2iz2-1

z2+2i

|=

3

．
∴|2iz₂-1|²=3|z₂+2i|²．
∴（2iz₂-1）（-2i

.

z2

-1）=3（z₂+2i）（

.

z2

-2i）．
整理得：z₂

.

z2

+4iz₂-4i

.

z2

-11=0．
即（z₂-4i）（

.

z2

+4i）=27．
∴|z₂-4i|²=27，
即|z₂-4i|=3

3

．
∴存在常數k=3

3

，使得等式|z₂-4i|=k恒成立．

點評：復數方程的化簡，以及復數的模的運算，注意存在性問題的處理方法，是中檔題．