Question

20、如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分別為所在邊的中點，O為面對角線A₁C₁的中點．
（1）求證：面MNP∥面A₁C₁B；
（2）求證：MO⊥面A₁C₁．

Answer 1

分析：（1）利用MN為△DD₁C的中位線，可得MN∥D₁C，再由正方形的性質可得D₁C∥A₁B，可證MN∥A₁B．
 同理證MP∥C₁B，從而證得面MNP∥面A₁C₁B．
（2）連接C₁M和A₁M，利用勾股定理可得C₁M=A₁M，故△A₁C₁M是等腰三角形，故有A₁C₁⊥MO．

解答：證明：（1）連接D₁C，MN為△DD₁C的中位線，∴MN∥D₁C．又∵D₁C∥A₁B，
∴MN∥A₁B．同理MP∥C₁B．
而MN與MP相交，MN，MP?面MNP，A₁B，
A₁B?面A₁C₁B．∴面MNP∥面A₁C₁B．
（2）證明：連接C₁M和A₁M，
設正方體的邊長為a，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴C₁M=A₁M，
又∵O為A₁C₁的中點，
∴A₁C₁⊥MO．

點評：本題考查證明面面平行、線線垂直的方法，面面平行 的判定定理應用，注意利用三角形的中位線的性質．