Question

1．    (本小題滿分13分)

已知函數的導數．a，b為實數，．

(1)    若在區間上的最小值、最大值分別為、1，求a、b的值；

(2)    在 (1) 的條件下，求曲線在點P（2，1）處的切線方程；

(3)    設函數，試判斷函數的極值點個數．

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）（3）2

【解析】(1) 由已知得，， 由，得，．

∵，，

∴ 當時，，遞增；

當時，， 遞減．

∴ 在區間上的最大值為，∴．

又，，∴ ．

由題意得，即，得． 故，為所求．

(2) 由 (1) 得，，點在曲線上．

當切點為時，切線的斜率，

∴ 的方程為，即．

(3) ．

∴

．  

二次函數的判別式為

，令，

得：令，得 

∵，，

∴當時，，函數為單調遞增，極值點個數為0；

當時，此時方程有兩個不相等的實數根，

根據極值點的定義，可知函數有兩個極值點．