Question

【題目】橢圓C：的離心率是，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．

求橢圓C的方程；

過點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在異于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q，使得直線l變化時(shí)，總有？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn)滿足題意。

【解析】

（1）利用已知條件，求解a，b，即可得到橢圓方程．

（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程：y＝kx+1，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)A，B坐標(biāo)，假設(shè)存在定點(diǎn)Q（0，t）符合題意，利用韋達(dá)定理，把轉(zhuǎn)化為kQA＝﹣kQB，求解即可．

（1）因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，得，且離心率是，所以得，，所以橢圓C的方程為：；

當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程：，

由得，，

設(shè)，

假設(shè)存在定點(diǎn)符合題意，，，

，

上式對(duì)任意實(shí)數(shù)k恒等于零，，即，．

當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，A，B兩點(diǎn)分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，，

顯然此時(shí)，

綜上，存在定點(diǎn)滿足題意