Question

在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且b²+c²-a²=bc
（1）求角A的大小；
（2）設f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos 2

x

2

，求f（B）的范圍．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，結合題意求得cosA的值，根據角A為△ABC內角，即可求得A的大小；
（2）利用二倍角的三角函數公式和輔助角公式，化簡得f（x）=sin（x+

π

6

）+

1

2

，結合B∈（0，

2π

3

）利用三角函數的圖象，可求出f（B）的范圍是（1，

3

2

]．

解答：解：（1）∵在△ABC中，b²+c²-a²=bc
∴a²=b²+c²-bc，
結合a²=b²+c²-2bccosA，可得cosA=

1

2

，
∵∠A為△ABC內角，∴A=

π

3

；
（2）f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos 2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

（1+cosx）=sin（x+

π

6

）+

1

2

，
∵A=

π

3

，可得B∈（0，

2π

3

）
∴B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），可得sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]
∴f（B）=sin（B+

π

6

）+

1

2

的范圍是（1，

3

2

]．

點評：本題以三角形內角B的范圍為定義域，求三角函數式的值域．著重考查了解三角形、三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．