Question

（本題滿分14分）

已知橢圓經過點（0，），離心率為，經過橢圓C的右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，點A、F、B在直線x=4上的射影依次為點D、K、E.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l交y軸于點M，且，當直線l的傾斜角變化時，探求的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；

（3）連接AE、BD，試探索當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）易知因為

∴橢圓C的方程…………………………3分

（2）易知直線l的斜率存在，設直線l方程且l與y軸交于設直線l交橢圓于

由得

……………………………………6分

又由

，同理…………………………………………8分

所以當直線l的傾斜角變化時，的值為定值-；…………………………10分

（3）當直線l斜率不存在時，直線軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交FK的中點N（，0），

猜想，當直線l的傾斜角變化時，AE與BD相交于定點N（，0）……………………11分

證明：由（2）知

當直線l的傾斜角變化時，首先證直線AE過定點N（，0），

∶

當時，

=

=點N（，0），在直線l_AE上,同理可證，點N（，0）

也在直線l_BD上；∴當m變化時，AE與BD相交于定點（，0）…………14分